Производная показательной функции. Число е

Урок и презентация на тему: "Число e. Функция. График. Свойства"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Ребята, сегодня мы будем изучать особенное число. Оно занимает отдельное место во "взрослой" математике и имеет много замечательных свойств, некоторые из которых мы и рассмотрим.

Вернемся к показательным функциям $y=a^x$, где $а>1$. Мы можем построить множество различных графиков функций для различных оснований.
Но следует заметить, что:

все функции проходят через точку (0;1),
при $х→-∞$ график имеет горизонтальную асимптоту $у=0$,
все функции возрастают и выпуклы вниз,
а также непрерывны, что в свою очередь означает, что они дифференцируемы.

Если функции всюду дифференцируемы, тогда к ним можно построить касательные в каждой точке. Если все функции проходят через точку (0;1), то она представляет особый интерес. Давайте последовательно построим несколько касательных.

Рассмотрим функцию $y=2^x$ и построим к ней касательную.
Аккуратно построив наши графики, можно заметить, что угол наклона касательной равен 35°.
Теперь давайте построим график функции $y=3^x$ и также построим касательную:
В этот раз угол наклона касательной приблизительно равен 48°. Вообще, стоит заметить: чем больше основание показательной функции, тем больше угол наклона.
Особый интерес представляет касательная с углом наклона равным 45°. К графику какой показательной функции можно провести такую касательную в точке (0;1)?
Основание показательной функции должно быть больше 2, но меньше 3, так как требуемый угол касательной достигается где-то между функциями $y=2^x$ и $y=3^x$. Такое число было найдено и оно оказалось довольно уникальным.

Показательную функцию, у которой касательная, проходящая через точку (0;1) имеет угол наклона равный 45°, принято обозначать: $y=e^x$ .
Основание нашей функции является иррациональным числом. Математиками было выведено приблизительное значение этого числа $e=2.7182818284590…$.
В курсе школьной математике принято округлять до десятых, то есть $e=2.7$.
Давайте построим график функции $y=e^x$ и касательную к этому графику.
Нашу функцию принято называть экспоненциальной.
Свойства функции $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.
В высшей математике доказано, что экспоненциальная функция всюду дифференцируема, и ее производная равна самой функции: $(e^x)"=e^x$.
Наша функция находит большое применение в многих разделах математики (в математическом анализе, в теории вероятности, в программировании), и многие реальные объекты связаны с этим числом.

Пример.
Найти касательную к графику функции $y=e^x$ в точке $х=2$.
Решение.
Уравнение касательной описывается формулой: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Последовательно найдем требуемые значения:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Ответ: $y=e^2*x-e^2$

Пример.
Найти значение производной функции $y=e^{3x-15}$ в точке $х=5$.
Решение.
Давайте вспомним правило дифференцирования функции вида $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
В нашем случае $f(kx+m)=e^{3x-15}$.
Найдем производную:
$y"=(e^{3x-15})"=3*e^{3x-15}$.
$y"(5)=3*e^{15-15}=3*e^0=3$.
Ответ: 3.

Пример.
Исследовать на экстремумы функцию $y=x^3*e^x$.
Решение.
Найдем производную нашей функции $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+x^3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Критических точек у функции нет, так как производная существует при любом х.
Приравняв производную к 0, получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-3$.
Отметим наши точки на числовой прямой:

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти касательную к графику функции $y=e^{2x}$ в точке $х=2$.
2. Найти значение производной функции $y=e^{4x-36}$ в точке $х=9$.
3. Исследовать на экстремумы функцию $y=x^4*e^{2x}$. Тема: Производная показательной функции. Число .

Дидактическая цель: сформировать представление о числе е, доказать дифференцируемость функции в любой точке , дифференцирование функции . Дать понятие натурального логарифма.

Развивающая цель: развивать умение быстро и правильно проводить вычисления с применением персонального компьютера.

Воспитательная цель: продолжить формирование умения правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию, что является важнейшим качеством будущего специалиста.

Наглядные пособия: плакаты.

Раздаточный материал: карточки-задания для индивидуальной работы. Оборудование: компьютер учителя, мультимедийный проектор, экран. Мотивация познавательной деятельности учащихся. Рассказать, какую важную роль играют логарифмы в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркнуть значение числа е и натурального логарифма.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II . Объяснение нового материала.

1)Графики показательной функции.

3) Число .

4) Вычисление числа .

5) Формула производной показательной функции.

6) Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

7) Первообразная показательной функции.

8) 3начение числа .

III. Решение примеров.

IV. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

Объяснение. Графики показательной функции изображались в виде гладких линий (т.е. без изломов), к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой равносильно её дифференцируемое в х 0 . Поэтому естественно предположить, что во всех точках области определения она дифференцируема. Нарисуем несколько графиков функции у=а х для у=2 х , у=З х , у=2,З х (Приложение №1)

Проведём к ним касательные в точке с абсциссой . Касательные расположены к графикам различны. Измеряем углы наклона каждой из них к оси абсцисс и убеждаемся, что углы наклона этих касательных приблизительно равны 35°...51°, т.е. с увеличением а угловой коэффициент к графику в точке М(0;1) постепенно возрастает от tg 35 до tg 51.

Существует такое число, болышее2 и меньшее 3, что показательная функция у=а х в точке 0 имеет производную равную 1. Основание этой функции принято обозначать буквой е. Число е иррационально, и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной дроби

e ≈ 2,7182818284…

С помощью ЭВМ найдено более 2 тысяч десятичных знаков числа е. Первые числа таковы 2,718288182459045~2,7.

Функцию часто называют экспонентой. Полученное число играет огромную роль в высшей математике также как и знаменитое число 3,14. Формула производной показательной функции.

Теорема 1. Функция .

Доказательство. Находим приращение функции

при .

По определению производной , т.е при любых .

Доказать, что самостоятельно.

Пример.

Даю определение: Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию :

Теорема 2. Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и .

Примеры. , . Найти производные функций.

Вычисление натурального логарифма с помощью MS Excel .

Пример. Исследуем функцию на возрастание (убывание) и экстремум и построим её график.

Так как для любых , то знак совпадает со знаком . Следовательно на , - возрастает

на , - убывает.

Для построения графика используем программу MS Excel .

Первообразная показательной функции.

Теорема 3.Первообразной для функции на R является функция . Доказательство:

Примеры:

а) ,

б) ,

в) , .

г) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Значение е.

Полученное число играет огромную роль в математике, физике, астрономии, биологии и других науках. Вот некоторые:

Это славное е

Помогает вполне

Уяснить вам и мне

Год рожденья Толстого Л.Н. 2,71828

Формула Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783г) Знаменитый математик 18в. Эйлер установил зависимость силы трения от числа оборотов верёвки вокруг сваи.

, -сила, против которой направлено наше усилие ; е;

Коэффициент трения между верёвкой и сваей, - угол навивания, т.е. отношение длины дуги, охваченной верёвкой, к радиусу этой дуги. В обыденной жизни, мы, сами не подозревая, часто пользуемся выгодой, которую указывает нам формула Эйлера.

Что такое узел? Это бечёвка, навитая на валик. Чем больше число оборотов каната, тем трение больше. Правило возрастания трения таково, что, увеличением числа оборотов в прогрессии арифметической, трение растёт в прогрессии геометрической.

Бессознательно пользуется тем же обстоятельством и портной, пришивая пуговицу. Он много раз обматывает нитку вокруг захваченного стежком участка материи и затем обрывает её, если только нитка крепка, пуговица не отпорется. Здесь применяется уже знакомые нам правило: с увеличением числа оборотов нитки в прогрессии арифметической крепость шитья возрастает в прогрессии геометрической. Если бы не было трения, мы не могли бы пользоваться пуговицами: нитки размотались бы под их тяжестью и пуговицы отвалились бы. , -Людвигу Больцману(1844-1906г), австрийскому физику, открывшему основной закон природы, определяющий направление всех физических процессов, стремящихся к равновесию как наиболее вероятному состоянию. -энтропия, т.е. мера достижения системой равновесия, -вероятность состояния системы.

Итоги урока. Домашнее задание: №538,№542

Приложение №1

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.